George Polya Citas famosas

Las matemáticas son la ciencia más barata. A diferencia de la física o la química, no requiere ningún equipo costoso. Todo lo que uno necesita para matemáticas es lápiz y papel.

Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero hay un grano de descubrimiento en la solución de cualquier problema. Su problema puede ser modesto, pero si desafía su curiosidad y pone en juego sus facultades inventivas, y si lo resuelve por sus propios medios, puede experimentar la tensión y disfrutar del triunfo del descubrimiento.

¿Por dónde debería empezar? Comience desde la declaración del problema. ... ¿Qué puedo hacer? Visualice el problema como un todo tan clara y vívidamente como pueda. ... ¿Qué puedo ganar al hacerlo? Debe comprender el problema, familiarizarse con él, imprimir su propósito en su mente.

Incluso los estudiantes bastante buenos, cuando han obtenido la solución del problema y han escrito cuidadosamente el argumento, cierran sus libros y buscan otra cosa. Al hacerlo, pierden una fase importante e instructiva del trabajo. ... Un buen maestro debe comprender e inculcar en sus alumnos la opinión de que ningún problema está completamente agotado.

La belleza en matemáticas es ver la verdad sin esfuerzo.

La pedantería y el dominio son actitudes opuestas hacia las reglas. Aplicar una regla al pie de la letra, rígidamente, sin cuestionamientos, en los casos en que encaja y en los casos en que no encaja, es pedantería. [...] Aplicar una regla con facilidad natural, con juicio, notando los casos en los que encaja y sin dejar que las palabras de la regla oscurezcan el propósito de la acción o las oportunidades de la situación, es maestría .

Si deseas aprender a nadar, tienes que meterte en el agua y si deseas convertirte en un solucionador de problemas, tienes que resolver problemas.

Epitafio sobre Newton: La naturaleza y la ley de la naturaleza yacen escondidas en la noche: Dios dijo: "¡Deja que Newton sea!, "y todo era luz. [agregado por Sir John Collings Squire: No duró: el Diablo gritando " Ho. Que Einstein sea," restauró el status quo] [Versión de Aaron Hill: Sobre las leyes de la naturaleza, Dios arrojó el velo de la noche, borró el alma de Newton y todo fue luz.

Mi método para superar una dificultad es rodearla.

Para traducir una oración del inglés al francés son necesarias dos cosas. Primero, debemos entender a fondo la oración en inglés. En segundo lugar, debemos estar familiarizados con las formas de expresión propias de la lengua francesa. La situación es muy similar cuando intentamos expresar en símbolos matemáticos una condición propuesta en palabras. Primero, debemos comprender a fondo la condición. En segundo lugar, debemos estar familiarizados con las formas de expresión matemática.

Resolver problemas es una habilidad práctica como, digamos, nadar. Adquirimos cualquier habilidad práctica por imitación y práctica. Al intentar nadar, imitas lo que otras personas hacen con las manos y los pies para mantener la cabeza fuera del agua y, finalmente, aprendes a nadar practicando la natación. Al tratar de resolver problemas, tienes que observar e imitar lo que hacen otras personas cuando resuelven problemas y, finalmente, aprendes a resolver problemas haciéndolos.

Si hay un problema que no puedes resolver, entonces hay un problema más fácil que no puedes resolver: encuéntralo.

La primera regla de estilo es tener algo que decir. La segunda regla de estilo es controlarte cuando, por casualidad, tienes dos cosas que decir; di primero una, luego la otra, no las dos al mismo tiempo.

Soy demasiado bueno para la filosofía y no lo suficiente para la física. Las matemáticas están en el medio.

¡Las matemáticas no son un deporte para espectadores!

Las matemáticas consisten en probar lo más obvio de la manera menos obvia.

El éxito en resolver el problema depende de elegir el aspecto correcto, de atacar la fortaleza desde su lado accesible.

Es mejor resolver un problema de cinco maneras diferentes, que resolver cinco problemas de una manera.

Las matemáticas tienen dos caras: es la ciencia rigurosa de Euclides, pero también es otra cosa. Las matemáticas presentadas al estilo euclidiano aparecen como una ciencia sistemática y deductiva; pero las matemáticas en ciernes aparecen como una ciencia experimental e inductiva. Ambos aspectos son tan antiguos como la propia ciencia de las matemáticas.

La forma de exposición de Euclides, que avanza implacablemente de los datos a lo desconocido y de la hipótesis a la conclusión, es perfecta para verificar el argumento en detalle, pero dista mucho de ser perfecta para hacer comprensible la línea principal del argumento.

La analogía impregna todo nuestro pensamiento, nuestro discurso cotidiano y nuestras conclusiones triviales, así como las formas artísticas de expresión y los más altos logros científicos.

Para resolver esta ecuación diferencial, la miras hasta que se te ocurre una solución.

En la" commentatio " (nota presentada a la Academia Rusa) en la que se publicó por primera vez su teorema sobre los poliedros (sobre el número de caras, aristas y vértices), Euler no da ninguna prueba. En lugar de una prueba, ofrece un argumento inductivo: verifica la relación en una variedad de casos especiales. No hay duda de que también descubrió el teorema, como muchos de sus otros resultados, de forma inductiva.

Estoy evitando intencionalmente el término estándar que, por cierto, no existía en la época de Euler. Una de las consecuencias más feas de la "nueva matemática" fue la introducción prematura de términos técnicos.

Un matemático que solo puede generalizar es como un mono que solo puede trepar a un árbol, y un matemático que solo puede especializarse es como un mono que solo puede trepar a un árbol. De hecho, ni el mono de arriba ni el mono de abajo son criaturas viables. Un mono de verdad debe encontrar comida y escapar de sus enemigos, por lo que debe poder trepar y bajar sin cesar. Un verdadero matemático debe ser capaz de generalizar y especializarse.

Hilbert una vez tuvo un estudiante de matemáticas que dejó de asistir a sus conferencias, y finalmente le dijeron que el joven se había ido para convertirse en poeta. Se dice que Hilbert comentó: "Nunca pensé que tuviera suficiente imaginación para ser matemático.'

El principio es tan perfectamente general que no es posible una aplicación particular del mismo.

El primer y principal deber de la escuela secundaria en la enseñanza de las matemáticas es enfatizar el trabajo metódico en la resolución de problemas...El maestro que desee servir por igual a todos sus alumnos, futuros usuarios y no usuarios de matemáticas, debe enseñar a resolver problemas de manera que se trate de un tercio de matemáticas y dos tercios de sentido común.

Escribir y hablar correctamente es ciertamente necesario; pero no es suficiente. Una derivación presentada correctamente en el libro o en la pizarra puede resultar inaccesible y poco instructiva, si el propósito de los pasos sucesivos es incomprensible, si el lector u oyente no puede entender cómo fue humanamente posible encontrar tal argumento....

Una idea que se puede usar una vez es un truco. Si se puede usar más de una vez, se convierte en un método.

La mejor de las ideas se ve perjudicada por la aceptación acrítica y prospera en el examen crítico.

Un GRAN descubrimiento resuelve un gran problema, pero hay un grano de descubrimiento en cualquier problema.

La elegancia de un teorema matemático es directamente proporcional al número de ideas independientes que se pueden ver en el teorema e inversamente proporcional al esfuerzo que se necesita para verlas.

El mundo está ansioso por admirar ese ápice y culminación de las matemáticas modernas: un teorema tan perfectamente general que ninguna aplicación particular de él es factible.

Muy a menudo, cuando se presenta una idea que podría ser útil, no la apreciamos, porque es muy discreta. El experto, quizás, no tiene más ideas que el inexperto, pero aprecia más lo que tiene y lo usa mejor.

Para enseñar eficazmente, un maestro debe desarrollar un sentimiento por su materia; no puede hacer que sus alumnos sientan su vitalidad si él mismo no la siente. Él no puede compartir su entusiasmo cuando no tiene entusiasmo para compartir. La forma en que exprese su punto de vista puede ser tan importante como el punto que exprese; él personalmente debe sentirlo importante.

El maestro rara vez puede permitirse perderse las preguntas: ¿Qué es lo desconocido? ¿Cuáles son los datos? ¿Cuál es la condición? El estudiante debe considerar las partes principales del problema atentamente, repetidamente y desde varios lados.

Uno de los primeros y más importantes deberes del maestro es no dar a sus alumnos la impresión de que los problemas matemáticos tienen poca conexión entre sí, y ninguna conexión con nada más. Tenemos una oportunidad natural de investigar las conexiones de un problema cuando miramos hacia atrás en su solución.

Si no puede resolver el problema propuesto, intente resolver primero algún problema relacionado.

Hay muchas preguntas que los tontos pueden hacer que los sabios no pueden responder.

La primera regla del descubrimiento es tener cerebro y buena suerte. La segunda regla del descubrimiento es quedarse quieto y esperar hasta tener una idea brillante.

Cuando se presenta en el momento o lugar equivocado, la buena lógica puede ser el peor enemigo de una buena enseñanza.

Las matemáticas son perezosas. Las matemáticas son dejar que los principios hagan el trabajo por ti para que no tengas que hacer el trabajo por ti mismo

La geometría es la ciencia del razonamiento correcto sobre figuras incorrectas.

El secreto a voces del verdadero éxito es arrojar toda tu personalidad a tu problema.

habÃa un seminario para estudiantes avanzados en Zúrich que yo estaba enseñando y von Neumann estaba en la clase. Llegué a cierto teorema, y dije que no está probado y que puede ser difícil. Von Neumann no dijo nada, pero después de cinco minutos levantó la mano. Cuando lo llamé, fue a la pizarra y procedió a escribir la prueba. Después de eso tuve miedo de Von Neumann.

Si la prueba parte de axiomas, distingue varios casos y toma trece líneas en el libro de texto ... puede dar a los jóvenes la impresión de que las matemáticas consisten en probar las cosas más obvias de la manera menos obvia.

El futuro matemático ... debería resolver problemas, elegir los problemas que están en su línea, meditar en su solución e inventar nuevos problemas. Por este medio, y por todos los demás medios, debería esforzarse por hacer su primer descubrimiento importante: debería descubrir sus gustos y disgustos, su gusto, su propia línea.

Mire a su alrededor cuando haya adquirido su primer hongo o haya hecho su primer descubrimiento: crecen en racimos.

Si tienes que demostrar un teorema, no te apresures. En primer lugar, comprenda completamente lo que dice el teorema, trate de ver claramente lo que significa. Luego verifique el teorema; podría ser falso. Examine las consecuencias, verifique tantos casos particulares como sean necesarios para convencerse de la verdad. Cuando te hayas convencido de que el teorema es verdadero, puedes comenzar a probarlo.